Question

已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是DSBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA==．求三棱锥S-ABC的体积．

Answer 1

答案：
解析：

解：如图，由题设，AH^面SBC．作BH^SC于E，由三垂线定理可知SC^AE，SC^AB，故SC^面ABE．设S在面ABC内射影为O，则SO^面ABC．由三垂线定理之逆定理，可知CO^AB于F．同理，BO^AC．故O为DABC的垂心．     又因为DABC是等边三角形，故O为DABC的中心，     从而，SA==SB==SC==．     因为CF^AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF^AB．     所以，ÐEFC是二面角H-AB-C的平面角，故     ÐEFC==30°，     OC==SCcos60°==，     SO===3．     又OC=AB，故AB====3．    VS-ABC==．