Question

等差数列{a_n}中，a₁＞0，且前n项之和为S_n，又S₇=S₁₃，问n为何值时，S_n最大？

Answer 1

解：方法一：设公差为d，若d≥0，则a_n=a₁+(n-1)d＞0，

∴S_n关于n单调递增，与S₇=S₁₃矛盾，故d＜0.

又S_n=n²+a₁-n，

∴点（n,S_n）在开口朝下的抛物线上.

∴n==10时，S_n最大.

方法二：由S₇=S₁₃知a₈+a₉+…+a₁₂+a₁₃=0，

∴×6=0,

∴a₁₀+a₁₁=a₈+a₁₃=0.

设公差为d，

若d≥0，由a₁＞0，知a₁₀＞0,a₁₁＞0，与a₁₀+a₁₁=0矛盾，

∴d＜0.

∴a₁₀＞a₁₁.又a₁₀+a₁₁=0，

∴a₁₀＞0,a₁₁＜0.

∴S₁₀最大，即n=10时，S_n最大.