Question

为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查．已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班．
（Ⅰ）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；
（Ⅱ）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出甲、乙、丙三所中学的教学班所占比例，用样本容量乘以甲、乙、丙三所中学的教学班所占比例，即得从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从甲、乙、丙三所中学分别抽取2，1，3个教学班，不妨分别记为 A₁，A₂，B₁，C₁，C₂，C₃，把从6个教学班中随机抽取2个教学班的基本事件一一列举
出来，找出其中至少有1个来自甲学校的基本事件，即可求出这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率．

解答：解：（Ⅰ）由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是12：6：18=2：1：3，…（1分）
∴甲、乙、丙三所中学的教学班所占比例分别为

2

6

，

1

6

，

3

6

，
所以甲学校抽取教学班数为 6×

2

6

个，乙学校抽取教学班数为6×

1

6

个，丙学校抽取教学班数为6×

3

6

个，…（4分）
所以分别抽取的教学班个数为2，1，3．                 …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从甲、乙、丙三所中学分别抽取2，1，3个教学班，不妨分别记为 A₁，A₂，B₁，C₁，C₂，C₃，
则从6个教学班中随机抽取2个教学班的基本事件为：（ A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，C₁），（A₁，C₂），（A₁，C₃），
（A₂，B₁），（A₂，C₁），（A₂，C₂），（A₂，C₃），（B₁，C₁），（B₁，C₂），（B₁，C₃），（C₁，C₂），（C₁，C₃），（C₂，C₃），共15个，…（7分）
设“从6个教学班中随机抽取2个教学班，至少有1个来自甲学校”为事件D，…（8分）
则事件D包含的基本事件为：（ A₁，A₂），（A₁，B₁），（A₁，C₁），（A₁，C₂），（A₁，C₃），（A₂，B₁），（A₂，C₁），（A₂，C₂），（A₂，C₃），
共9个．  …（10分）
所以 P（D）=

9

15

=

3

5

． …（12分）
所以从抽取的6个教学班中随机抽取2个，且这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率为

3

5

．…（13分）

点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．