Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为线段AD₁上的点，且满足

D1P

=λ

PA

(λ＞0)．
（1）当λ=1时，求证：DP⊥平面ABC₁D₁；
（2）问当λ变化时，三棱锥D-PBC₁的体积是否为定值；若是，求出其定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析：（1）欲证DP⊥平面ABC₁D₁，用平面与平面垂直的性质，即当两个平面垂直时，其中一个平面上垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，用正方体的性质，可判断当λ=1时，平面ABC₁D₁⊥平面AA₁D₁D，且两平面交线为AD₁，利用正方形对角线互相垂直可证DP⊥AD₁，所以DP⊥平面ABC₁D₁． 
（2）三棱锥D-PBC₁可以把三角形PBC₁看成底面，D点为顶点，则三角形PBC₁的面积为BC₁的长乘以1，为定值，D点到平面PBC₁的距离也为定值，所以三棱锥D-PBC₁的体积恒为定值．

解答：解：（1）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面AA₁D₁D，
又AB?ABC₁D₁，∴平面ABC₁D₁⊥平面AA₁D₁D，
∵λ=1时，P为AD₁的中点，∴DP⊥AD₁，
又∵平面ABC₁D₁∩平面AA₁D₁D=AD₁，DP?平面AA₁D₁D
∴DP⊥平面ABC₁D₁．      
（2）三棱锥D-PBC₁的体积恒为定值．
∵AD₁∥BC₁，P为线段AD₁上的点，
∴三角形PBC₁的面积为定值，即S△PBC1=

1

2

×

2

×1=

2

2

，
又∵CD∥平面ABC₁D₁，∴点D到平面PBC₁的距离为定值，即h=

2

2

，
∴三棱锥D-BPC₁的体积为定值，即VD-PBC1=

1

3

•S△PBC1•h=

1

3

×

2

2

×

2

2

=

1

6

．
也即无论λ为何值，三棱锥D-PBC₁的体积恒为定值

1

6

．

点评：本题主要考查了应用面面垂直的性质证明线面垂直，以及三棱锥体积公式的应用．