Question

已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x，设t＞-2
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（2）求函数f（x）在[-2，t]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，
（2）分类讨论，确定函数的单调性，即可求函数f（x）在[-2，t]上的最小值．

解答：解：（1）因为f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴函数f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
要使函数f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0，
（2）当-2＜t≤0时，f（x）在[-2，t]上单调递增，∴f(x)min=f(-2)=13e-2
当0＜t≤1时，f（x）在（-2，0）上单调递增，在（0，t）上单调递减
∵f（t）≥f（1）＞f（-2），∴f(x)min=f(-2)=13e-2
当t＞1时，f（x）在（-2，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
同理f（t）≥f（1）＞f（-2），∴f(x)min=f(-2)=13e-2
综上：当f（x）在[-2，t]上的最小值为13e^-2．

点评：本题以函数为载体，考查利用导数确定函数的单调性，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．