Question

已知函数f（x）=ax³+bx在x=3时取得极值-54
（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）求曲线y=f（x）与x轴围成图形的面积．

Answer 1

分析：（I）先对函数进行求导，然后根据f′（3）=0且f（3）=-54可求出a，b的值，
（II）先求出曲线与x轴的交点，设围成的平面图形面积为A，利用定积分求出A即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=3ax²+b，x∈R，由函数x=3时取得极值-54可知f′（3）=0且f（3）=-54，
即

27a+b=0 27a+3b=-54

，解得a=1，b=-27；
（Ⅱ）∵f（x）=x³-27x，由f（x）=x³-27x=0可知x1=0，x2=-3

3

，x3=3

3

又∵f（-x）=-x³+27x=-f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，
∴曲线y=f（x）与x轴围成图形的面积为A=2

∫

0 -3 3

(x3-27x)dx=2(

1

4

x4-

27

2

x2)

|

0 -3 3

=

729

2

．

点评：此题是个中档题．本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系、定积分在求面积中的应用．导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．