Question

如图△ABC为正三角形，边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，PQ为圆A的任意一条直径．
（1）若

CD

=

1

3

DB

，求|

AD

|；
（2）求

BP

•

CQ

的最大值．
（3）判断B

P

•C

Q

-A

P

•C

B

的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由．

Answer 1

分析：（1′）利用向量加法的三角形法则，将向量

AD

表示成：

AD

=

AC

+

1

4

CB

，再结合向量的模的性质求出它的模即可；
（2）先结合图形利用平面向量基本定理将向量

BP

，

CQ

分别用向量

BA

+

AP

和

CA

+

AQ

表示，再利用题中条件化成1+2cosθ，最后结合三角函数的性质求

BP

•

CQ

的最大值．
（3）将B

P

•C

Q

-A

P

•C

B

利用平面向量基本定理化简成：-|A

P

|2+A

B

•A

C

，再结合向量的数量积公式即可得出不会随点P的变化而变化，值为1．

解答：解：（1）∵

AD

=

AC

+

1

4

CB

，
∴|

AD

|=

( AC + 1 4 CB )2

=

13 4

=

13

2

；
（2）

BP • CQ =( BA + AP )•( CA + AQ )=1+ AQ ( BA - CA )=1+ AQ • BC  =1+2cosθ

（其中θ为

AQ

与

BC

的夹角）所以 θ=0时，(

BP

•

CQ

)取最大值3．
（3）由于B

P

•C

Q

-A

P

•C

B

=(A

P

-A

B

)•(A

Q

-A

C

)-A

P

(A

B

-A

C

)，A

Q

=-A

P

B

P

•C

Q

-A

P

•C

B

=(A

P

-A

B

)•(-A

P

-A

C

)-A

P

(A

B

-A

C

)=-|A

P

|2+A

B

•A

C

．因为A

B

•A

C

=|A

B

|•|A

C

|cos∠BAC=2，|A

P

|2=1，
所以B

P

•C

Q

-A

P

•C

B

=-|A

P

|2+A

B

•A

C

=1，即B

P

•C

Q

-A

P

•C

B

不会随点P的变化而变化，值为1．

点评：本小题主要考查向量的模、最小值问题中的应用、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．