Question

已知函数f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12，当时x∈[1，2]，f（x）的最大值为

log₂12

．

Answer 1

分析：由已知f（1）=1，f（2）=log₂12代入到f（x）中，建立方程组求得a、b的值，从而求出f（x），利用真数的单调性可求出函数的最大值，从而求出所求．

解答：解：由题意，列方程组

log 2(a -b)=1 log 2(a2-b2)=log 212

求得a=4，b=2
∴f（x）=log₂（4^x-2^x）=log 2[ (2x-

1

2

)  2-

1

4

]
∵1≤x≤2∴2≤2^x≤4
故t=(2x-

1

2

) 2-

1

4

在[1，2]上单调递增
∴f（x）的最大值=f（2）=log₂12
故答案为：log₂12

点评：本题主要考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，以及利用复合函数的单调性求函数的最值，属于中档题．