Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）证明数列{a_n-2}为等比数列；
（Ⅲ）判断是否存在λ（λ∈Z），使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立，若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列，∴（a_n+1+S_n+1）-（a_n+S_n）=2，
即，（2分）∵a₁=1，∴；（4分）
（Ⅱ）证明：由题意，得a₁-2=-1，∵，∴{a_n-2}是首项为-1，公比为的等比数列；（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，∴，∵{a_n+S_n}是首项为a₁+S₁=2，公差为2的等差数列，∴a_n+S_n=2+（n-1）×2=2n，∴，（9分）
设存在整数λ，使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立，
即存在整数λ，使不等式对任意的n∈N^*成立，∴当n=1时，不等式成立，解得λ≤1，（10分）
以下证明存在最大的整数λ=1，使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立．
当n=2时，不等式化简为，成立；
当n≥3时，∵，∴（S_n-n+1）＞a_n成立．
综上，知存在整数λ，使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立，且λ的最大值为1．（14分）
分析：（Ⅰ）由题意知（a_n+1+S_n+1）-（a_n+S_n）=2，即，由此可知．
（Ⅱ）由题意得a₁-2=-1，再由，知{a_n-2}是首项为-1，公比为的等比数列．
（Ⅲ）由题意知，所以，设存在整数λ，使不等式对任意的n∈N^*成立，∴当n=1时，不等式成立，解得λ≤1．由此可知存在整数λ，使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立，且λ的最大值为1．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．