设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和,求证:＜lgSn+1. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

设{a_n}是由正数组成的等比数列,S_n是其前n项和,求证:＜lgS_n+1.

证法一：依题意,{a_n}的首项a₁＞0,公比q＞0,

故0＜S_n＜S_n+1＜S_n+2.

∵qS_nS_n+2=qS_n(a₁+qS_n+1)＜a₁qS_n+1+q²S_nS_n+1=qS_n+1(a₁+qS_n)=qS_n+1²,

∴S_nS_n+2＜S_n+1².

∴＜lgS_n+1.

证法二：依题意,首项a₁＞0,S_n+1＞S_n,故S_nS_n+2-S_n+1²=S_n(a₁+qS_n+1)-S_n+1(a₁+qS_n)=a₁(S_n-S_n+1)＜0.

∴S_nS_n+2＜S_n+1².

∴＜lgS_n+1.

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