Question

若函数f（x）对于?x∈R都有f（1-x）=f（1+x）和f（1-x）+f（3+x）=0成立，当x∈[0，1]时，f（x）=x，则f（2013）=

1

．

Answer 1

分析：由题意得f（1+x）=-f（3+x），进一步可得f（x）是以4为周期的函数，根据当x∈[0，1]时，f（x）=x，利用周期性可得出f（2013），从而可求得答案．

解答：解：∵函数f（x）对于?x∈R都有f（1-x）=f（1+x）和f（1-x）+f（3+x）=0成立，
∴f（x+1）=-f（x+3），
∴f（x）=-f（x+2），
∴f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，
∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=1．
故答案为：1．

点评：本题考查函数的周期性及函数值的求解，求得f（x）是以4为周期的函数是关键，属于基础题．