Question

若二次函数f（x）=ax²-4x+c的值域为[0，+∞），则

a

c2+4

+

c

a2+4

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：由题意可知，a＞0，△=0，从而求出ac=4，将所求式子中的4代换成ac，利用裂项法进行整理，进而利用均值不等式求出最小值．

解答：解：∵二次函数f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），
∴a＞0，△=16-4ac=0，
∴a＞0，c＞0，ac=4，
∴

a

c2+4

+

c

a2+4

=

a

c2+ac

+

c

a2+ac

=

a

c(a+c)

+

c

a(a+c)

=

1

c

-

1

a+c

+

1

a

-

1

a+c

=

1

a

+

1

c

-

2

a+c

≥2

1 ac

-

2

2 ac

=

1

2

，
当且仅当a=c=2时取等号．
故答案为

1

2

．

点评：利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等．同时注意裂项法的运用．