Question

若二次函数f（x）=x²+bx+c满足f（2）=f（-2），且函数的f（x）的一个零点为1．
（Ⅰ） 求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意的x∈[

1

2

，+∞)，4m²f（x）+f（x-1）≥4-4m²恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得函数图象的对称轴为x=0，求得b=0，再由f（1）=0求得c=-1，从而得到函数的解析式．
（Ⅱ）由题意知，得m2≥

1

x2

+

1

2x

-

1

4

在[

1

2

，+∞)上恒成立．令g（x）=

1

x2

+

1

2x

-

1

4

，求得g（x）的最大值

19

4

，从而得到m2≥

19

4

，由此求得实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（2）=f（-2）且f（1）=0，故函数图象的对称轴为x=0，
∴b=0，c=-1，∴f（x）=x²-1．…（4分）
（Ⅱ）由题意知：4m²（x²-1）+（x-1）²-1+4m²-4≥0，在x∈[

1

2

，+∞)上恒成立，
整理得m2≥

1

x2

+

1

2x

-

1

4

在[

1

2

，+∞)上恒成立．…（6分）
令g（x）=

1

x2

+

1

2x

-

1

4

=(

1

x

+

1

4

)2-

5

16

，
∵x∈[

1

2

，+∞)，∴

1

x

∈(0，2]，…（8分）
当

1

x

=2时，函数g（x）的最大值

19

4

，…（10分）
所以m2≥

19

4

，解得m≤-

19

2

或m≥

19

2

．   …（12分）

点评：本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，求二次函数在闭区间上的最值，属于基础题．