Question

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①对任意，恒成立；②对任意，存在与n无关的常数M，使恒成立．
（1）若是等差数列，是其前n项和，且试探究数列与集合W之间的关系；
（2）设数列的通项公式为，且，求M的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）先根据条件，利用等差数列的性质得到的前n项和，然后检验其是否满足①②条件即可；（2）由数列的通项公式经作差可知，当时，，此时，数列单调递减，当时，，即，从而得到数列中的最大项为，由恒成立，从而知的取值范围是.
试题解析：(1)设等差数列的公差是，则
 解得   1分
∴   (3分)
∴ 
∴，适合条件①
又，
∴当或时，取得最大值20，即，适合条件②．
综上，   （6分）
（2）∵，
∴当时，，此时，数列单调递减；   9分
当时，，即，   10分
因此，数列中的最大项是，   11分
∴，即M的取值范围是．   12分