Question

如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD的固定投食点A到两条平行河岸线l₁、l₂的距离分别为4m、8m，河岸线l₁与该养殖区的最近点D的距离为1m，l₂与该养殖区的最近点B的距离为2m．
（1）如图甲，养殖区在投食点A的右侧，若该小组测得∠BAD=60°，请据此算出养殖区的面积；
（2）如图乙，养殖区在投食点A的两侧，试在该小组未测得∠BAD的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．

Answer 1

分析：（1）设AD与l₁所成夹角为α，推出AB与l₂所成夹角为60°-α，对菱形ABCD的边长“算两次”得

3

sinα

=

6

sin(60°-α)

，
求出tanα=

3

5

，然后求出养殖区的面积；
（2）如图乙，设AD与l₁所成夹角为α，∠BAD=θ∈（120°，180°），推出AB与l₂所成夹角为（180°-θ+α），
类似（1）求出养殖区的面积，通过导数求解养殖区的面积的最小值．

解答：解：（1）如图甲，设AD与l₁所成夹角为α，
则AB与l₂所成夹角为60°-α，
对菱形ABCD的边长“算两次”得

3

sinα

=

6

sin(60°-α)

，
解得tanα=

3

5

，
所以，养殖区的面积S=(

3

sinα

)2•sin60°=9(1+

1

tan2α

)•sin60°=42

3

(m2)；
（2）如图乙，设AD与l₁所成夹角为α，∠BAD=θ∈（120°，180°），
则AB与l₂所成夹角为（180°-θ+α），
对菱形ABCD的边长“算两次”得

3

sinα

=

6

sin(180°-θ+α)

，
解得tanα=

sinθ

2+cosθ

，
所以，养殖区的面积S=(

3

sinα

)2•sinθ=9(1+

1

tan2α

)•sinθ=9(

5+4cosθ

sinθ

)，
由S′=9(

5+4cosθ

sinθ

)′=-9(

5cosθ+4

sin2θ

)=0
得cosθ=-

4

5

，
经检验得，当cosθ=-

4

5

时，
养殖区的面积S_min=27（m²）．
答：（1）养殖区的面积为42

3

m2；（2）养殖区的最小面积为27m²．

点评：本题考查三角形的解法，导数的应用，对菱形ABCD的边长“算两次”是解题的关键，考查计算能力，转化思想．