Question

7．已知直线a∥b，a，b与平面M斜交，a?α，b?β，且α⊥平面M，β⊥平面M，求证：α∥β

Answer 1

分析 要证面面平行，根据条件，要转化为线线平行，现在已有直线a∥直线b，再找一组平行直线，且分别与直线a，直线b相交，根据α⊥平面M，β⊥平面M，可找面M的垂线，由垂直于同一平面的两直线平行，问题得证．

解答 证明：令α∩M=直线a′，β∩M=直线b′．
分别过a、b上任一点在α内、β内作a′、b′的垂线m、n．
根据两平面垂直的性质定理，
∵α⊥M，β⊥M，
∴m⊥M，n⊥M．
∴m∥n．
∵a不垂直于M，m⊥M，且a、m在α内，
∴a与m必是相交直线．又b与n在β内，且有a∥b，m∥n，
∴a∥β，m∥β．
∴α∥β．

点评 本题主要考查了面面平行的判定定理，面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理，综合性较强，作图是明确证明思路的关键．