Question

20．给定平面上四点A，B，C，D，满足AB=2，AC=4，AD=6，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4，则△DBC面积的最大值为$8\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先利用向量的数量积公式，求出∠BAC=60°，利用余弦定理求出BC，由等面积可得A到BC的距离，即可求出△DBC面积的最大值．

解答 解：∵AB=2，AC=4，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4，
∴cos∠BAC=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{4}{2×4}=\frac{1}{2}$，∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}-2×2×4×\frac{1}{2}}=2\sqrt{3}$，
设A到BC的距离为h，则由等面积可得$\frac{1}{2}•2\sqrt{3}•h$=$\frac{1}{2}•2•4•\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴h=2，
∴△DBC面积的最大值为$\frac{1}{2}$•$2\sqrt{3}$（2+6）=$8\sqrt{3}$．
故答案为：$8\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC，A到BC的距离是解题的关键，属中档题．