Question

已知椭圆（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e=，直线l交椭圆于M、N两点．
（1）若直线l的方程为y=x-4，求弦MN的长；
（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中椭圆（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e=，根据e=，b=4，a²=b²+c²可求出椭圆的标准方程，进而求直线l的方程及弦长公式，得到弦MN的长；
（2）设线段MN的中点为Q（x，y），结合（1）中结论，及△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，由重心坐标公式，可得Q点坐标，由中点公式及M，N也在椭圆上，求出MN的斜率，可得直线l方程．
解答：解：（1）由已知椭圆（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），
∴b=4，
又∵离心率e=，
即，
∴，解得a²=20，
∴椭圆方程为； …（3分）
由4x²+5y²=80与y=x-4联立，
消去y得9x²-40x=0，
∴x₁=0，，
∴所求弦长；            …（6分）
（2）椭圆右焦点F的坐标为（2，0），
设线段MN的中点为Q（x，y），
由三角形重心的性质知，又B（0，4），
∴（2．-4）=2（x-2，y），
故得x=3，y=-2，
求得Q的坐标为（3，-2）；                               …（9分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4，
且，…（11分）
以上两式相减得，
∴，
故直线MN的方程为，即6x-5y-28=0．   …（13分）
点评：本题考查的知识点是直线的一般方程，直线与圆锥曲线，熟练掌握椭圆的简单性质是重心坐标，中点公式等基本公式，是解答的关键．