Question

设直角△ABC的三边分别为a，b，c，其中c为斜边，直线ax+by+c=0与圆cos²θ•x²+cos²θ•y²=1，θ为常数，θ∈（0，

π

2

）交于M、N两点，则|MN|=（　　）

A．sinθ

B．2sinθ

C．tanθ

D．2tanθ

Answer 1

分析：根据圆的方程求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式求出圆心O到直线ax+by+c=0的距离等于d，由弦长公式
|MN|=2

r2-d2

，运算求得结果．

解答：解：圆cos²θ•x²+cos²θ•y²=1，即 x2+y2=  

1

cos2θ

，表示以原点O为圆心，以|

1

cosθ

|为半径的圆．
由于θ∈（0，

π

2

），故半径为 r=

1

cosθ

．
∵直角△ABC的三边分别为a，b，c，其中c为斜边，∴c²=a²+b²．
圆心O到直线ax+by+c=0的距离等于d=

c

a2+b2

=1，
故弦长|MN|=2

r2-d2

=2

( 1 cosθ )2-1

=2tanθ．
故选D．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．