Question

已知函数f （x）=

2 sinx

1+cos2x

（1）求f （x）的定义域．
（2）用定义判断f （x）的奇偶性．
（3）在[-π，π]上作出函数f （x）的图象．
（4）指出f （x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）根据分母不为零和二次根据的被开方数非负，列式：1+cos2x＞0，解之可得函数的定义域；
（2）首先根据（1）知函数的定义域关于原点对称，再通过化简f（-x）得-f（x），可得函数为奇函数；
（3）化简函数：f （x）=

2 sinx

2 |cosx|

=

sinx

|cosx|

=

tanx(- π 2 ＜x＜ π 2 ) -tanx(-π≤x＜- π 2 或 π 2 ＜x≤π)

 x∈[-π，π]，可由正切函数图象变换作图；
（4）根据三角函数周期的定义可得周期为2π，再根据（3）的图象，可以写出函数的增区间．

解答：解：（1）由1+cos2x＞0得2cos²x＞0∴cosx≠0即x≠kπ+

π

2

，（k∈z）
∴函数f （x）的定义域为{x|x≠kπ+

π

2

，k∈z|}
（2）∵定义域关于原点对称，且对任意的定义域中x，
f （-x）=

2 sin(-x)

1+cos(-2x)

=

- 2 sinx

1+cos2x

=-f(x)
∴f （x）为奇函数．
（3）f （x）=

2 sinx

2 |cosx|

=

sinx

|cosx|

又x∈[-π，π]
且x≠-

π

2

， x≠

π

2

∴f（x）=

tanx(- π 2 ＜x＜ π 2 )  -tanx(-π≤x＜- π 2 或 π 2 ＜x≤π)

作f （x）图象如图：

（4）由图知，f（x）的最小正周期为2π．
f （x）的单调递增区间是（-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ）（k∈z）

点评：本题综合了三角函数的图象与性质，函数的周期性、单调性和奇偶性等知识，着重考查了基本公式和基本概念，是一道中档题．