Question

（2013•贵阳二模）已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各顶点都在同一球面上，且AB=BC=2，AA₁=4，则这个球的表面积为（　　）

A．16π

B．20π

C．24π

D．32π

Answer 1

分析：由长方体的对角线公式，算出长方体对角线AC₁=2

6

，从而得到长方体外接球的直径等于2

6

，得半径R=

6

，结合球的表面积公式即可得到，该球的表面积．

解答：解：∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，
∴长方体的对角线AC₁=

AB2+BC2+BB12

=

24

=2

6

∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各顶点都在同一球面上，
∴球的一条直径为AC₁=2

6

，可得半径R=

6

因此，该球的表面积为S=4πR²=4π×（

6

）²=24π
故选：C

点评：本题给出长方体的长、宽、高，求长方体外接球的表面积，着重考查了长方体的对角线公式、长方体的外接球和球的表面积公式等知识，属于基础题．