题目内容
（2006•石景山区一模）袋中装有大小、质地相同的8个小球，其中红色小球4个，蓝色和白色小球各 2个．某学生从袋中每次随机地摸出一个小球，记下颜色后放回．规定每次摸出红色小球记2分，摸出蓝色小球记1分，摸出白色小球记0分．
（Ⅰ）求该生在4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率；
（Ⅱ）求该生两次摸球后恰好得2分的概率；
（Ⅲ）求该生两次摸球后得分ξ的数学期望．
（Ⅰ）求该生在4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率；
（Ⅱ）求该生两次摸球后恰好得2分的概率；
（Ⅲ）求该生两次摸球后得分ξ的数学期望．
分析：（Ⅰ）先求得每次摸球得到红球的概率，由于每次摸球为相互独立事件，故可用独立重复试验中事件发生k次的概率计算公式求；
（Ⅱ）该生两次摸球后恰好得（2分）包括：“两次中摸到一红一白”和“两次均摸到蓝球”两种情况，分别求出概率再相加；
（Ⅲ）两次摸球得分ξ的可能取值为0，1，2，3，4．利用独立事件的概率乘法公式分别求得其概率，再用期望公式可求得结果；
（Ⅱ）该生两次摸球后恰好得（2分）包括：“两次中摸到一红一白”和“两次均摸到蓝球”两种情况，分别求出概率再相加；
（Ⅲ）两次摸球得分ξ的可能取值为0，1，2，3，4．利用独立事件的概率乘法公式分别求得其概率，再用期望公式可求得结果；
解答：解：（Ⅰ）“摸出红色小球”，“摸出蓝色小球”，“摸出白色小球”分别记为事件A，B，C．
由题意得：P(A)=
=
，P(B)=P(C)=
=
．
因每次摸球为相互独立事件，故4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率为：P4(3)=
(
)3(1-
)=
．
（Ⅱ）该生两次摸球后恰好得（2分）的概率P=
P(A)P(C)+P(B)P(B)=
．
（Ⅲ）两次摸球得分ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
则P(ξ=0)=P(C)P(C)=
；P(ξ=1)=
P(B)P(C)=2×
×
=
；
P(ξ=2)=
P(A)P(C)+P(B)P(B)=
；P(ξ=3)=
P(A)P(C)=
；P(ξ=4)=P(A)P(A)=
．
∴Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
=
．
由题意得：P(A)=
| 4 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 8 |
| 1 |
| 4 |
因每次摸球为相互独立事件，故4次摸球中恰有3次摸出红色小球的概率为：P4(3)=
| C | 3 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅱ）该生两次摸球后恰好得（2分）的概率P=
| C | 1 2 |
| 5 |
| 16 |
（Ⅲ）两次摸球得分ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
则P(ξ=0)=P(C)P(C)=
| 1 |
| 16 |
| C | 1 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
P(ξ=2)=
| C | 1 2 |
| 5 |
| 16 |
| C | 1 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∴Eξ=0×
| 1 |
| 16 |
| 1 |
| 8 |
| 5 |
| 16 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
点评：本题考查离散型随机变量的分布列、期望，考查独立重复试验，考查学生解决问题的能力．
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