Question

已知二项式(

3	x

-

1

2 3 x

) n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
（I）求展开式的第四项；
（II）求展开式的常数项．

Answer 1

分析：首先展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，写出三个项之间的关系，求出n的值，
（1）在一个二项式中，写出二项式的第四项，注意二项式所包含的两部分结构比较复杂，运算时要细心．
（2）根据前面写出的二项式的形式，写出二项式的通项，根据要求的是常数项，只要使得变量x的指数等于0，做出r的值即可求得常数项．

解答：解：因为第一、二、三项系数的绝对值分别为C_n⁰，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

∴

C

n 0

+

1

4

C

n 2

= 2×

1

2

C

n 1

∴n²-9n+8=0
解得n=8…．（4分）
（I）第四项T4=

C

3 8

(

3	x

)5 (-

1

2 3 x

)3=-7x

2

3

…．（7分）
（II）通项公式为Tr+1=

C

r 8

(-

1

2

)rx

8-2r

3

，
令

8-2r

3

=0，得r=4…．（10分）
所以展开式中的常数项为T5=

C

4 8

(-

1

2

)4=

35

8

…．（12分）

点评：本题看出二项式定理的应用，本题解题的关键是根据所给的条件，算出二项式的指数，为后面的解题做准备．