Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若存在，且，使得，求证： .

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）求函数的单调区间，转化为求函数导数值大于零或小于零的不等式的解；（2）根据题意对进行分类讨论，当时显然不行， 时，不能有，设，则由即可，利用单调性即可证出.

试题解析：（1）当时， ，

又，由，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由，当时， ，此时在R上单调递增；

由可得，与相矛盾，

所以，且的单调递增区间为，单调递减区间为.

若，则由可得，与相矛盾，

同样不能有，

不妨设，则由，

因为在上单调递减，在上单调递增，且，

所以当时， .

由， ，可得，故，

又在上单调递减，且，所以，

所以，同理，即，解得，

所以.