Question

已知函数f（x）=x³-3a²x+1
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知a＞0，若?x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a=1代入，求出函数的解析式，进而求出导函数的解析式，分析导函数的符号后，可得函数f（x）的单调区间；
（2）若?x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．则?x∈[1，2]，恒有3a2≤

x3+1

x

，构造函数h(x)=

x3+1

x

，利用导数法求出其最小值，可得实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x³-3x+1
f'（x）=3x²-3
由f'（x）＞0得x＜-1或x＞1，
由f'（x）＜0得-1＜x＜1
故f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间是（-1，1）
（2）由题?x∈[1，2]，恒有x³-3a^2x+1≥0⇒?x∈[1，2]，恒有3a2≤

x3+1

x

令h(x)=

x3+1

x

=x2+

1

x

，h′(x)=2x-

1

x2

=

2(x3- 1 2 )

x2

，
当x∈[1，2]时，h'（x）＞0
∴h（x）在[1，2]上单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=2
故3a²≤2
又a＞0
∴0＜a≤

6

3

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，熟练掌握导函数法求函数单调区间和最值的方法和步骤是解答的关键．