Question

【题目】已知抛物线，过的直线与抛物线C交于两点，点A在第一象限，抛物线C在两点处的切线相互垂直.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）若点P为抛物线C上异于的点，直线均不与轴平行，且直线AP和BP交抛物线C的准线分别于两点，.

（i）求直线的斜率；

（ⅱ）求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ⅱ）4.

【解析】

（1）利用导数的几何意义分别求得处切线的斜率，再根据斜率相乘为，可得的值，即可得答案；

（2）（i）根据可得点横坐标的关系，再结合韦达定理，可求得斜率；

（ii）由（i）易知，设，则，再分别求出点的横坐标用表示，利用换元法可求得的最值.

（1）设.

抛物线C的方程可化为.

抛物线C在两点处的切线的斜率分别为.

由题可知直线l的斜率存在，故可设直线1的方程为，

联立，消去y可得，

.

，解得.

∴抛物线C的标准方程为；

（2）（i）由（1）可得

由，可得，

又点A在第一象限，解得.

∴直线AB的斜率为；

（ii）由（i）易知.

设，则.

由题可知，故且.

∴直线AP的斜率，同理可得.

∴直线，当时，.

直线，当时，.

.

令，

当且仅当，即，也即或时，取得最小值4.