Question

正方形ABCD的两顶点A、B在抛物线y=x²上，两顶点C、D在直线y=x-4上，求正方形的边长．

Answer 1

分析：根据正方形的性质设出AB的方程代入抛物线方程，利用韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，进而利用弦长公式求得AB的长，利用平行线之间的距离公式求得AB到直线CD的距离，利用变长相等求得b，最后把b代入两直线的距离公式中即可．

解答：解：设AB方程 y=x+b，
代入抛物线方程得x²-x-b=0
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-b
∴|AB|=

2

(x1+x2) 2-4x1x2

=

2

•

1+4b

直线AB与y=x-4距离为

|4+b|

2

  
∵ABCD是正方形．
∴

2

•

1+4b

=

|4+b|

2

解得：b=2或6，
∴正方形边长=3

2

或者5

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．