Question

在平面上有两个区域M和N，其中M满足

y≥0 x-y≥0 x+y≤2

，N由t≤x≤t+1确定，当t=0时，M和N公共部分的面积是

1

2

；当0≤t≤1时，M和N的公共部分面积的最大值为

3

4

．

Answer 1

分析：先画出可行域M，再画出可行域N，由于区域N为动区域，故讨论t的范围，以确定两区域的公共部分，最后建立面积关于t的二次函数，利用配方法求最值即可

解答：解：画出区域M如图：
由

x-y=0 x+y=2

得A（1，1）
当t=0时，N为0≤x≤1，M和N公共部分的面积是

1

2

S_△AOB=

1

2

当t=1时，N为1≤x≤2，M和N公共部分的面积是

1

2

S_△AOB=

1

2

当0＜t＜1时，0＜t≤x≤t+1＜2，M和N公共部分的面积S=S_△AOB-

1

2

×t×t-

1

2

×（1-t）×（1-t）=1-

t2

2

-

1-2t+t2

2

=-t²+t+

1

2

∴当t=

1

2

时，面积最大为-

1

4

+

1

2

+

1

2

=

3

4

故答案为 

1

2

  

3

4

点评：本题主要考查了线性规划的思想，建立函数模型解决问题的方法，数形结合的思想方法，配方法求二次函数的值域，属基础题