Question

曲线（4x-3y）（x-2y）=0与圆（x-3）²+（y-4）²=r²恰有三个交点A、B、C，则△ABC的面积为（　　）

• A．2

  5

• B．4

  5

• C．2

  5

  或20
• D．4

  5

  或20

Answer 1

分析：曲线（4x-3y）（x-2y）=0是两条直线：4x-3y=0和x-2y=0．圆心过4x-3y=0．故其中有两点在直线4x-3y=0上，另外一个点g一是过圆心是和x-2y=0的垂直的直线与x-2y=0的交点．二是圆过直线4x-3y=0和x-2y=0的交点A（0，0），第三点是直线x-2y=0与圆的另外一个交点C．由此能求出△ABC的面积．

解答：解：曲线（4x-3y）（x-2y）=0是两条直线：4x-3y=0和x-2y=0．
圆心过4x-3y=0．
故其中有两点在直线4x-3y=0上，
另外一个点有两种情况：
一种情况是过圆心是和x-2y=0的垂直的直线与x-2y=0的交点．
设过圆心与x-2y=0垂直的直线为2x+y+c=0，
把圆心（3，4）代入，得c=-10．
解方程组

x-2y=0 2x+y-10=0

，
由此得出：圆心O（3，4）到直线x-2y=0的垂足为P（4，2）
垂足即为第三点．
圆半径r=|OP|=

(4-3)2+(2-4)2

=

5

，
点（4，2）到直线4x-3y=0的距离d=

|4×4-2×3|

16+9

=2，
所以△ABC=

1

2

×2×2

5

=2

5

．
另一种情况是圆过直线4x-3y=0和x-2y=0的交点A（0，0），第三点是直线x-2y=0与圆的另外一个交点C．
此时圆径为r=5，圆的方程为（x-3）²+（y-4）²=25，
直线4x-3y=0与圆（x-3）²+（y-4）²=25的另一个交点是B（6，8），
B（6，8）到直线x-2y=0的距离BC=

|6-16|

5

=2

5

，AC=

100-20

=4

5

，
S△ABC=

1

2

×4

5

×2

5

=20．
故选C．

点评：本题主要考查圆标准方程，简单几何性质，直线与圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．