题目内容
设函数f(x)＝
(x＞0)，数列{an}满足a1＝1，an＝f
(n∈N*，且n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…＋(－1)n－1·anan＋1，若Tn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．
（1）an＝
（2）
【解析】(1)因为an＝f
＝
＝an－1＋
(n∈N*，且n≥2)，
所以an－an－1＝
.因为a1＝1，
所以数列{an}是以1为首项，公差为
的等差数列．
所以an＝.
(2)①当n＝2m，m∈N*时，
Tn＝T2m＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…＋(－1)2m－1a2ma2m＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2m(a2m－1－a2m＋1)
＝－
(a2＋a4＋…＋a2m)＝－
×
×m
＝－
(8m2＋12m)＝－(2n2＋6n)．
②当n＝2m－1，m∈N*时，
Tn＝T2m－1＝T2m－(－1)2m－1a2ma2m＋1＝－(8m2＋12m)＋(16m2＋16m＋3)
＝(8m2＋4m＋3)＝(2n2＋6n＋7)．
所以Tn＝
要使Tn≥tn2对n∈N*恒成立，只要使－ (2n2＋6n)≥tn2，(n为正偶数)恒成立．
只要使－
≥t，对n∈N*恒成立，故实数t的取值范围为
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