Question

设等差数列{a_n}的公差d≠0，a₁=4d，若a_k是a₁与a₆的等比中项，则k的值为 ________．

Answer 1

3
分析：因为第k项是首项与第6项的等比中项，所以得到第k项的平方等于首项与第6项的积列出一个关系式，利用等差数列的通项公式，根据首项为4d，表示出第k项和第6项，代入求得的关系式中即可得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
解答：因为a₁=4d，且a_k是a₁与a₆的等比中项，
所以a_k²=a₁•a₆=4d•（4d+5d）=36d²，则a_k=±6d，
即a_k=4d+（k-1）d=4d+2d或a_k=4d+（k-1）d=4d-10d，
解得k=3或k=-9（舍去），所以k的值为3．
故答案为：3．
点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道综合题．