Question

公差不为0的等差数列{a_n}中，a₄=10且a₃，a₆，a₁₀成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式和它的前20项和S₂₀．
（II）求数列{

1

anan+1

}前n项的和T_n．

Answer 1

分析：（I）设出等差数列的公差为d，根据a₄=10分别表示出a₃，a₆，a₁₀，由a₃，a₆，a₁₀成等比数列求出d，把d=0舍去得到a_n的通项公式和s₂₀；
（II）因为

1

anan+1

=

1

(n+6)(n+7)

=

1

(n+6)

-

1

(n+7)

，分别列出数列各项求出和，抵消得到T_n即可．

解答：解：（I）设数列{a_n}的公差为d，则a₃=a₄-d=10-d，a₆=a₄+2d=10+2d，a₁₀=a₄+6d=10+6d
由a₃，a₆，a₁₀成等比数列得a₃a₁₀=a₆²，
即（10-d）（10+6d）=（10+2d）²，
整理得10d²-10d=0，解得d=0或d=1．
∵d≠0，∴d=1（6分）
故a₁=a₄-3d=10-3×1=7，
∴a_n=a₁+（n-1）d=n+6，
于是S20=20a1+

20×19

2

d=20×7+190=330．
（II）

1

anan+1

=

1

(n+6)(n+7)

=

1

(n+6)

-

1

(n+7)

Tn=(

1

7

-

1

8

)+(

1

8

-

1

9

)++(

1

n+6

-

1

n+7

)=

1

7

-

1

n+7

点评：考查学生灵活运用等差数列性质的能力，会运用等差数列的通项公式及前n项和的公式解决数学问题，以及会利用积化差抵消的方法求数列的和．