Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁B₁B为正方形，侧面BB₁C₁C为菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（I）求证：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（II）若AB=2，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积．

Answer 1

分析：（I）证AB垂直于平面内的两条相交直线，再由线面垂直⇒面面垂直；
（II）先求得三棱锥B₁-ABC的体积，再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解．

解答：解：（Ⅰ）证明：由侧面AA₁B₁B为正方形，知AB⊥BB₁．
又∵AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，∴AB⊥平面BB₁C₁C，
又∵AB?平面AA₁B₁B，∴平面AA₁B₁B⊥BB₁C₁C．
（Ⅱ）由题意，CB=CB₁，设O是BB₁的中点，连接CO，则CO⊥BB₁．
由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB₁B₁A，且CO=

3

2

BC=

3

2

AB=

3

．
连接AB₁，则VC-ABB1=

1

3

S△ABB1•CO=

1

6

×AB²•CO=

2 3

3

．
∵VB1-ABC=VC-AA1B1=VC-A1B1C1=

1

3

VABC-A1B1C1=

2 3

3

，
∴V_三棱柱=2

3

．

点评：本题考查面面垂直的判定及空间几何体的体积．