Question

（2013•丰台区二模）已知偶函数f（x）（x∈R），当x∈（-2，0]时，f（x）=-x（2+x），当x∈[2，+∞）时，f（x）=（x-2）（a-x）（a∈R）．
关于偶函数f（x）的图象G和直线l：y=m（m∈R）的3个命题如下：
①当a=2，m=0时，直线l与图象G恰有3个公共点；
②当a=3，m=

1

4

时，直线l与图象G恰有6个公共点；
③?m∈（1，+∞），?a∈（4，+∞），使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等．
其中正确命题的序号是（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

Answer 1

分析：可求出函数在x∈[0，+∞）时的解析式，令其等于0，解方程可得根，由对称性可得根的个数，可判①②正确；③同理可得根个数为4，可得4个点的坐标，由x₃-x₂=x₄-x₃，化简可得a的范围，取a的值即可．

解答：解：设x∈[0，2），则-x∈（-2，0]，故f（-x）=x（2-x），
由函数为偶函数可知，当x∈[0，2）时，f（x）=x（2-x），
故当x∈[0，+∞）时，f（x）=

x(2-x)，x∈[0，2) (x-2)(a-x)，x∈[2，+∞)

，
①当a=2，m=0时，x∈[0，+∞）时，f（x）=

x(2-x)，x∈[0，2) -(x-2)2，x∈[2，+∞)

，
令其等于0可得，x=0，或x=2，由函数图象的对称性可知，
此时直线l与图象G恰有3个公共点-2，0，2，故①正确；
②当a=3，m=

1

4

时，x∈[0，+∞）时，f（x）=

x(2-x)，x∈[0，2) (x-2)(3-x)，x∈[2，+∞)

，
令其等于

1

4

可得x=

2- 3

2

，或x=

2+ 3

2

，或x=

5

2

，由函数图象的对称性可知，
此时直线l与图象G恰有6个公共点-

2- 3

2

，-

2+ 3

2

，-

5

2

，

2- 3

2

，

2+ 3

2

，

5

2

，故②正确；
③?m∈（1，+∞），令f（x）=

x(2-x)，x∈[0，2) (x-2)(a-x)，x∈[2，+∞)

=m，
∵当x∈[0，2）时，f（x）=x（2-x）=-（x-1）²+1≤1，
故只能让（2-x）（a-x）=m，（m＞1），当△=（a-2）²-4m＞0，
即（a-2）²＞4，即a＞4，或a＜0时，
可解得x=

a+2- (a-2)2-4m

2

，或x=

a+2+ (a-2)2-4m

2

，
故由函数图象的对称性可知直线l与图象G交于4个点，由小到大排列为：x₁=-

a+2+ (a-2)2-4m

2

，
x₂=-

a+2- (a-2)2-4m

2

，x₃=

a+2- (a-2)2-4m

2

，x₄=

a+2+ (a-2)2-4m

2

，
而x₄-x₃=

(a-2)2-4m

，x₃-x₂=a+2-

(a-2)2-4m

，
由x₃-x₂=x₄-x₃，化简可得3a²-20a+12=16m＞16，解得a＜

10-2 22

3

，或a＞

10+2 22

3

，
故可取a=8＞

10+2 22

3

，当然满足a∈（4，+∞），使距离相等，
故对?m∈（1，+∞），?a=8∈（4，+∞），使得直线l与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等，故③正确．
故选D

点评：本题考查命题真假的判断，涉及函数的奇偶性和根的个数的判断，属基础题．