题目内容

设x，y∈R，若向量
a
=(x，y+2)，
b
=(x，y-2)，且|
a
|-|
b
|=2，则点M（x，y）的轨迹C的方程为
y2-
x2
3
=1(y＞0)
y2-
x2
3
=1(y＞0)
．
分析：利用向量知识，结合双曲线的定义，可得轨迹方程．
解答：解：∵向量
a
=(x，y+2)，
b
=(x，y-2)，且|
a
|-|
b
|=2，
∴点M（x，y）到（0，-2），（0，2）的距离的差为2，
∴点M（x，y）的轨迹是以（0，-2），（0，2）为焦点的双曲线的上支，
∴y2-
x2
3
=1(y＞0)，
故答案为y2-
x2
3
=1(y＞0)．
点评：本题考查向量知识的运用，考查双曲线的定义，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设x，y∈R，
i
，
j
、为直角坐标系内x、y轴正方向上的单位向量，若
a
=x
i
+（y+2）
j
，
b
=x
i
+（y-2）
j
且
a
2+
b
2=16．
（1）求点M（x，y ）的轨迹C的方程；
（2）过定点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设
OP
=
OA
+
OB
，是否存在直线l使四边形OAPB为正方形？若存在，求出l的方程，若不存在说明理由．
设x，y∈R，
i
，
j
是直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若
a
=x
i
+(y+3)
j
，
b
=x
i
+(y-3)
j
且|
a
|+|
b
|=6，则点M（x，y）的轨迹是（　　）
（2012•西山区模拟）设x，y∈R，
i
，
j
为直角坐标平面内x，y轴正方向上单位向量，若向量
a
=(x+
3
)
i
+y
j
，
b
=(x-
3
)
i
+y
j
，且|
a
|+|
b
|=2
6
．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）若直线L与曲线C交于A、B两点，若
OA
•
OB
=0，求证直线L与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．
给出以下结论：（1）x，y∈R，若x2+y2=0，则x=0或y=0的否命题是假命题；
（2）若非零向量
a
，
b
，
c
两两成的夹角均相等，则夹角为0°或120°
（3）若（1+x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a0+a1+2a2+3a3+…10a10=10×29
（4）实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则
1
Smax
+
1
Smin
=
7
5

（5）函数f(x)=
sinx，(sinx≤cosx)
cosx，(sinx＞cosx)
为周期函数，且最小正周期T=2π
其中正确的结论的序号是：
（1）（5）
（1）（5）
（写出所有正确的结论的序号）

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