Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d的区间[-1，2]上是减函数，则b+c的取值范围是

(-∞，-

15

2

]

．

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，由导函数在x∈[-1，2]上恒成立列出关于b，c的不等式组，然后利用线性规划知识求得b+c的取值范围．

解答：解：由f（x）=x³+bx²+cx+d，
则f′（x）=3x²+2bx+c．
要使函数f（x）=x³+bx²+cx+d的区间[-1，2]上是减函数，
则f′（x）=3x²+2bx+c≤0在x∈[-1，2]上恒成立．
所以

f′(-1)≤0 f′(2)≤0

，即

3×(-1)2-2b+c≤0 3×22+4b+c≤0

．
也就是

2b-c≥3 4b+c≤-12

．
以b为横轴，c为纵轴画出可行域如图，
联立

2b-c=3 4b+c=-12

，解得

b=- 3 2 c=-6

．
所以可行域上顶点为(-

3

2

，-6)．
则b+c的最大值为-

3

2

-6=-

15

2

．
故b+c的取值范围是（-∞，-

15

2

]．
故答案为（-∞，-

15

2

]．

点评：本题考查了函数的单调性与导函数之间的关系，训练了利用线性规划知识求最值，是中档题．