题目内容

已知函数

（Ⅰ）是否存在实数a,b(a＜b），使得函数的定义域和值域都是。若存在，请求出a,b的值，若不存在，请说明理由；

（Ⅱ）若存在实数a,b(a＜b），使得函数的定义域是，值域是，求实数m的取值范围。

解析：（Ⅰ）不存在实数满足条件。

事实上，若存在实数，使得函数f(x)的定义域和值域都是[a,b]，则有

①当在（0，1）上为减函数，所以

②当a,b时，上为增函数，所以

      

而此方程无实根，故此时不存在实数a,b满足条件。

③当

故此时不存在a,b满足条件。

综上可知，不存在实数满足条件。………………………………….10分

（Ⅱ）若存在实数，使得

函数f(x)的定义域是值域是

仿照（Ⅰ）的解答可知，

当时，满足条件的a,b不存在。

故只有当a,b上为增函数，

于是a,b是方程的两个大于1的实数根，

所以

故m的取值范围是       …………………………20分
练习册系列答案
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（2013•蓟县二模）已知函数f（x）=-
1
3
x3+
1
2
(2a+1)x2-2ax+1，其中a为实数．
（Ⅰ）当a≠
1
2
时，求函数f（x）的极大值点和极小值点；
（Ⅱ） 若对任意a∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有ta2-f（x）＞
3
2
成立，求实数t的取值范围．
（Ⅲ）已知g（x）=a2x2+ax+1，m（x）=
4
3
x3-(a2+
3
2
)x2+（2a+5）x-3，h（x）=f（x）+m（x），设函数q（x）=
g(x)，x≥0
h(x)，x＜0.
是否存在a，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）成立？若存在，求a的值；若不存，请说明理由．

090423
 
已知函数，，

其中．

   （I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；

   （II）设函数  是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一

的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存

在，请说明理由．

已知函数，R.

（1）求函数的单调区间；

（2）是否存在实数，使得函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存

在，说明理由.

 

已知函数是定义在上的奇函数,并且在上是减函数．是否存

在实数使恒成立?若存在,求出实数的取值范围；若不存在，请

说明理由．

 

(本小题满分12分)

已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.

（I）求实数a的取值范围；

（II）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存

在，请说明理由；

（Ⅲ）设

求证：.

 

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