题目内容

已知直线x+y+m=0与圆x²+y²=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，| $数学公式$ + $数学公式$ |≥| $数学公式$ |，那么实数m的取值范围是

A.
（-2，- $数学公式$ ]∪[ $数学公式$ ，2）
B.
（-2，2）
C.
[- $数学公式$ ， $数学公式$ ]
D.
（-2， $数学公式$ ]

A
分析：设AB线段的中点为 C，可得| $\text{[math]}$ |≥ $\text{[math]}$ =|AC|，∠AOB≤90°，可得 $\text{[math]}$ ＞|OC|≥1，即 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ≥1，解不等式2＞|m|≥ $\text{[math]}$ ，求得实数m的取值范围．
解答：设AB线段的中点为C，则 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
故| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |≥| $\text{[math]}$ |，即2| $\text{[math]}$ |≥| $\text{[math]}$ |，
| $\text{[math]}$ |≥ $\text{[math]}$ =|AC|，∴∠AOC≤45°，∠AOB≤90°．
当∠AOB=90° 时，|AB|= $\text{[math]}$ R=2，圆心到直线的距离|OC|=1，
故当∠AOB≤90°时，由题意可得 $\text{[math]}$ ＞|OC|≥1，即 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ≥1，
解得2＞|m|≥ $\text{[math]}$ ，解得实数m的取值范围是（-2，- $\text{[math]}$ ]∪[ $\text{[math]}$ ，2），
故选A．
点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值不等式的解法，得到 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ≥1，是解题的关键．