Question

已知复数z满足|z-4|=|z-4i|且z+

14-z

z-1

∈R，求：z．

Answer 1

分析：确定一个复数要且仅要两个实数a、b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a、b确定z．
判断一个复数是否为实数除用定义外，还可以用z∈R?z=

.

z

可使运算简化．

解答：解：设z=x+yi（x，y∈R）
∵z+

14-z

z-1

∈R∴z+

14-z

z-1

=

.

z

+

14- . z

. z -1

即（z-

.

z

）[1-

13

(z-1)( . z -1)

]=0
解得z=

.

z

或|z-1|²=13
将z=x+yi代入|z-4|=|z-4i|可得x=y，∴z=x+xi
（1）当z=

.

z

时，即z∈R则有x=0
（2）当|z-1|²=13时，既有x²-x-6=0则有x=3或x=-2
综上所述故z=0或z=3+3i或z=-2-2i．

点评：本题主要考查熟练的运用共轭复数的性质．其性质有：
|z|=|

.

z

|，z+

.

z

=2R（z），z-

.

z

=2iI（z），z•

.

z

=|z|²=|

.

z

|²，

.

z1+z2

=

.

z

1±

.

z

2，

.

z1•z2

=

.

z

1•

.

z

2，

.

z1 z2

=

. z 2

. z 1

（z₂≠0）等．