Question

已知复数z满足|z-2|=2，z+

4

z

∈R，求z．

Answer 1

分析：设z=x+yi，x，y∈R，根据复数及模的运算，建立方程组，求出x，y即可求出z．

解答：解：设z=x+yi，x，y∈R，则
z+

4

z

=z+

4 . z

z . z

=x+yi+

4(x-yi)

x2+y2

=x+

4x

x2+y2

+(y-

4y

x2+y2

)i，
∵z+

4

z

∈R，∴y-

4y

x2+y2

=0，又|z-2|=2，∴（x-2）²+y²=4，
联立解得，当y=0时，x=4或x=0 （舍去x=0，因此时z=0），
当y≠0时，

x=1 y=± 3

，z=1±

3

，
∴综上所得 z₁=4，z₂=1+

3

i，z₃=1-

3

i．

点评：本题考查复数及模的运算，复数的分类．考查计算，分类讨论能力．