Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
（1）求证：直线A₁B∥平面ACD₁；
（2）求证：平面ACD₁⊥BD₁D平面．
（3）若边长为4，求三棱锥D₁-ABC的体积．

Answer 1

（1）证明：连接A₁B，则四边形A₁BCD₁是平行四边形，∴A₁B∥CD₁，

∵A₁B?平面ACD₁，CD₁?平面ACD₁，
∴直线A₁B∥平面ACD₁；
（2）证明：平面BD₁D即对角面BB₁D₁D
∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，BD与BB₁都在平面BD₁D内且相交于B，∴AC⊥平面BD₁D．
又AC?平面ACD₁，
∴平面ACD₁⊥平面BD₁D平面；
（3）解：由题意，D₁D⊥平面ABCD．
∵边长为4，
∴三棱锥D₁-ABC的体积为=．
分析：（1）连接A₁B，则四边形A₁BCD₁是平行四边形，可得A₁B∥CD₁，利用线面平行的判定，即可得到结论；
（2）先证明AC⊥平面BD₁D，再利用面面垂直的判定可得结论；
（3）由题意，D₁D⊥平面ABCD，利用三棱锥的体积公式即可得到结论．
点评：本题考查线面平行，线面垂直，考查三棱锥体积的计算，掌握线面平行、垂直的判定方法是关键．