Question

19.如题(19)图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC＝90°，AB=1,BC=,AA₁=2;点D在棱BB₁上，BD＝BB₁；B₁E⊥A₁D，垂足为E，求：

题(19)图

(Ⅰ)异面直线A₁D与B₁C₁的距离；

(Ⅱ)四棱锥C-ABDE的体积。

Answer 1

解法一：(Ⅰ)由直三棱柱的定义知B₁C₁⊥B₁D，又因为∠ABC＝90°，因此B₁C₁⊥A₁B₁，从而B₁C₁⊥平面A₁B₁D，得B₁C₁⊥B₁E。又B₁E⊥A₁D，故B₁E是异面直线B₁C₁与A₁D的公垂线

由知

在Rt△A₁B₁D中，A₁D＝

又因

故B₁E=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知B₁C₁⊥平面A₁B₁D，又BC∥B₁C₁，故BC⊥平面ABDE，即BC为四棱锥C-ABDE的高。从而所求四棱锥的体积V为

V＝V_C-ABDE＝

其中S为四边形ABDE的面积。如答(19)图1，过E作EF⊥B₁D，垂足为F。

答(19)图1

在Rt△B₁ED中，ED=

又因 =

故EF=

因△A₁AE的边A₁A上的高故

＝

又因为＝从而

S＝--＝2-

所以

解法二：(Ⅱ)如答(19)图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O-xyz，则

答(19)图2

A(0,1,0),A₁(0,1,2),B(0,0,0).

B₁(0,0,2),C₁(,0,2),D(0,0, )

因此

设E(，y₀，z₀)，则，

因此

又由题设B₁E⊥A₁D，故B₁E是异面直线B₁C₁与A₁D的公垂线。

下面求点E的坐标。

因B₁E⊥A₁D，即

又

联立(1)、(2),解得,,即，。

所以.

(Ⅱ)由BC⊥AB，BC⊥DB，故BC⊥面ABDE.即BC为四棱锥C-ABDE的高.

下面求四边形ABDE的面积。

因为S_ABDE＝S_△ABE+ S_△BDE，

而S_△ABE＝

S_△BDE＝

故S_ABDE＝

所以