Question

设集合A_（p，q）={x∈R|x²+px+q=0}，当实数p，q取遍[-1，1]的所有值时，所有集合A_（p，q）的并集为

[-

1+ 5

2

，

1+ 5

2

]

．

Answer 1

分析：由x²+px+q=0，知x₁=（-p+

p2-4q

2

），x₂=（-p-

p2-4q

2

），由此能求出所有集合A_（p，q）的并集．

解答：解：∵x²+px+q=0，
∴x₁=（-p+

p2-4q

2

），x₂=（-p-

p2-4q

2

），
即-p尽可能大

p2-4q

也是尽可能大时，x最大，
视p为常数  则q=-1时
p²-4q最大值为4+p²，
即（x₁）_max=

-p+ p2+4

2

，①
p=-1时（x₁）_max=

1+ 5

2

，
即x_max=x₁=

1+ 5

2

，
同理当x₂取最小值是集合最小，
即x₂中-q最小且-

p2-4q

最小，
即（x₂）_min=-（p+

p2-4q

2

）中（p+

p2

-4q）最大
由①得
（p+

p2-4q

）最大值为1+

5

，
即x_min=-

1+ 5

2

，
∴所有集合A_（p，q）的并集为[-

1+ 5

2

，

1+ 5

2

]．
故答案为：[-

1+ 5

2

，

1+ 5

2

]．

点评：本题考查集合的并集及其运算的应用，解题时要认真审题，注意换法的合理运用，恰当地借助三角函数的性质进行解题．