Question

如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）无论点E在边BC的何处，PE与AF所成角是否都为定值，若是，求出其大小；若不是，请说明理由；
（3）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°．

Answer 1

分析：解法一（几何法）：（1）线与面的位置关系有三种相交、平行与在面内，由题设中的条件E，F为中点可得EF∥PC，由此可判断出EF与平面PAC的位置关系是平行，再由线面平行的判定定理证明说明理由；
（2）由题设条件及图形可得出AF⊥平面PBE，由线面垂直的定义可得出无论点E在边BC的何处两线都垂直．
（3）先作出二面角的平面角，令其大小是45°，设BE=x，在直角三角形DCE中用勾股定理建立方程求同x值．
解法二（向量法）：（1）的解法同法一中（1）的解法；
（2）建立如图示空间直角坐标系，由ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动，给出各点的坐标，求出PE与AF所对应的向量的坐标，验证其内积为0即可得出直线所成的角是直角；
（3）先求出两平面的法向量，再由公式求出两个平面的夹角．

解答：解：解法一：（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC又EF?平面PAC
而PC?平面PAC∴EF∥平面PAC．
（2）∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，∴EB⊥PA．又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，∴EB⊥平面PAB，
又AF?平面PAB，∴AF⊥BE．
又PA=AB=1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，又∵PB∩BE=B，PB，BE?平面PBE，∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，∴AF⊥PE．即无论点E在边BC的何处，
PE与AF所成角都是定值90°．
（3）过A作AG⊥DE于G，连PG，又∵DE⊥PA，
则DE⊥平面PAG，
则∠PGA是二面角P-DE-A的平面角，
∴∠PGA=45°，
∵PD与平面ABCD所成角是30°，∴∠PDA=30°，
∴AD=

3

，PA=AB=1．
∴AG=1，DG=

2

，设BE=x，则GE=x，CE=

3

-x，
在Rt△DCE中，(

2

+x)2=(

3

-x)2+12，BE=x=

3

-

2

．
解法二：（向量法）（1）同解法一
（2）建立图示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0），F(0，

1

2

，

1

2

)，D(

3

，0，0)．
设BE=x，则E（x，1，0）

PE

-

AF

=(x，1，-1)•(0，

1

2

，

1

2

)=0
∴AF⊥PE即PE与AF所成角是定值90°
（3）设平面PDE的法向量为

m

=(p，q，1)，由

m • PD =0 m • PE =0

，得：

m

=(

1

3

，1-

x

3

，1)，而平面ADE的法向量为

AP

=(0，0，1)，
∵二面角P-DE-A的大小是45°，所以cos45°=

2

2

=

| m •  AP |

| m ||  AP |

，
∴

1

1 3 +(1- x 3 )2+1

=

1

2

，
得BE=x=

3

-

2

或 BE=x=

3

+

2

（舍）．

点评：本题考查空间向量求两平面的夹角，解题的关键是理解并掌握用空间向量求两平面夹角的方法，近几年高中数学引入空间向量，大大降低了立体几何中点线面间关系判断的思维含量，降低了难度，使得抽象的几何问题变成了简明的代数计算，用向量示解几何问题的一般步骤是：先根据图形的结构建立适当的坐标系，给出各点的坐标，如果研究两线的位置关系问题，可以求出两向量的方向向量，用公式求夹角，若研究线面夹角问题可求出线的方向向量与面的法向量，由公式求角，若研究两面的夹角问题，可求出两面的法向量，由公式求夹角．