Question

如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB=2，BC=

2

，PB=

6

（1）证明：面PAC⊥平面PBC
（2）求二面角P-BC-A的大小
（3）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（1）先由线面垂直：PA⊥平面ABC，证出线线垂直：PA⊥BC，再由线线垂直：AC⊥BC且PA∩AC=A，证明线面垂直：BC⊥平面PAC，最后由线面垂直：BC?平面PBC，证出面面垂直：面PAC⊥平面PBC
（2）先证明∠PCA就是二面角P-BC-A的平面角，由线面垂直证明线线垂直：BC⊥AC，BC⊥PC，所以∠PCA就是二面角P-BC-A的平面角，再在Rt△PAC中计算∠PCA即可
（3）一作：取PC的中点E，连接AE，二证：∵AE⊥平面PBC∴线段AE的长就是点A到平面PBC的距离，三计算：在Rt△PAC中，AE=

|PC|

2

=1

解答：解：（1）证明：依题意，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AC⊥BC且PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∵BC?平面PBC
∴面PAC⊥平面PBC
（2）∵BC⊥平面PAC∴BC⊥AC，BC⊥PC∴∠PCA就是二面角P-BC-A的平面角
在Rt△PAC中，AC=

4-2

=

2

 PC=

6-2

=2
∴cos∠PCA=

2

2

∵∠PCA∈[0，π]∴∠PCA=

π

4

∴二面角P-BC-A的大小为

π

4

（3）依题意，PA=

2

取PC的中点E，连接AE，
∵PA=AC，∴AE⊥PC
∵面PAC⊥平面PBC
∴AE⊥平面PBC
∴线段AE的长就是点A到平面PBC的距离
在Rt△PAC中，AE=

|PC|

2

=1
∴A到平面PBC的距离为1

点评：本题考察了空间面面垂直的证明方法，二面角的求法及空间点到面的距离的求法，解题时要有较强的空间想象力，较强的运算能力