Question

已知△ABC与△DBC都是边长为

2 3

3

的等边三角形，且平面ABC⊥平面DBC，过点A作PA⊥平面ABC，且AP=2．
（Ⅰ）求直线PD与平面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）平面PDC与底面ABC所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根据题意可知直线PD与平面ABC所成角就是直线PD与直线OA所成的角，过D作DM∥OA交PA于M，易知DO∥PA，从而求出∠PDM，即为所求；
（II）延长AO与PD的延长线交于点M，连接MC，过O向MC作OH⊥MC于M，连接DH，则∠OHD为所求二面角的平面角，然后在直角三角形OHD中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）∵D在平面ABC的射影是O，P在平面ABC的射影是A，
∴DP在平面ABC的射影是OA，即直线PD与平面ABC所成角就是直线PD与直线OA所成的角，
过D作DM∥OA交PA于M，易知DO∥PA，
∴DM=OA=1，DO=MA=1?PM=1
∴cos∠PDM=

DM

PD

=

2

2

即∠PDM=45°
（Ⅱ）延长AO与PD的延长线交于点M，连接MC，过O向MC作OH⊥MC于M，连接DH，则∠OHD为所求二面角的平面角
∵DO=1，AO=1，MO=1，
∴HO=

MO•OC

MC

=

1× 3 3

2 3 3

=

1

2

cos∠OHD=

OH

DH

=

1 2

1+ 1 4

=

5

5

点评：本题主要考查了线面所成角的度量以及二面角平面角的度量，解题的关键是找出二面角的平面角，属于中档题．