Question

已知向量

OP1

、

OP2

、

OP3

满足

OP1

+

OP2

+

OP3

=0，|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1．
求证：△P₁P₂P₃是正三角形．

Answer 1

分析：法一：由|

OP1

|=|

OP2

|= |

OP3

|=1知O是△P₁P₂P₃的外接圆的圆心，要证△P₁P₂P₃是正三角形，只需证∠P₁OP₂=∠P₂OP₃=∠P₃OP₁即可，即需求

OP1

 与

OP 2

，

OP2

与

OP3

，

OP3

与

OP1

的夹角，由

OP1

+

OP 2

+

OP 3

=

0

变形可出现数量积，进而求夹角
法二：用坐标法证明：以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），从而可得

OP 1

= (x1，y1)   

OP 2

=(x2，y2)  ， 

OP 3

=(x3，y3)，然后由条件

OP 1

+

OP 2

+

OP

 3= 

0

可得

x1+x2+x3 =0 y1+y2+y3=0

结合已知条件，用坐标表示|

P 1P

 2| ， |

P 2P 3

| ， |

P 3P 1

|

解答：证明：
法一：∵

OP1

+

OP2

+

OP3

=0，∴

OP1

+

OP2

=-

OP3

．∴|

OP1

+

OP2

|=|-

OP3

|．
∴|

OP1

|²+|

OP2

|²+2

OP1

•

OP2

=|

OP3

|²．
又∵|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1，
∴

OP1

•

OP2

=-

1

2

．
∴|

OP1

||

OP2

|cos∠P₁OP₂=-

1

2

，
即∠P₁OP₂=120°．
同理∠P₁OP₃=∠P₂OP₃=120°．
∴△P₁P₂P₃为等边三角形．
法二：以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），
则

OP1

=（x₁，y₁），

OP2

=（x₂，y₂），

OP3

=（x₃，y₃）．
由

OP1

+

OP2

+

OP3

=0，
得

x1+x2+x3=0 y1+y2+y3=0.

∴

x1+x2=-x3 y1+y2=-y3.

，
由|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1，得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²=x₃²+y₃²=1
∴2+2（x₁x₂+y₁y₂）=1
∴|

P1P2

|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

x12+x22+y12+y22-2x1x2-2y1y2

=

2(1-x1x2-y1y2)

=

3

同理|

P1P3

|=

3

，|

P2P3

|=

3

∴△P₁P₂P₃为正三角形

点评：评述：解本题的关键是由

OP1

+

OP2

+

OP3

=0转化出现向量的数量积，进而求夹角．可以用向量式表示，也可以用坐标式表示，还考查了考生的推理论证能力．