题目内容
已知向量
满足
+
+
=
，|
|=
=
=1．则△P1P2P3的形状为（ ）
| OP1， |
| OP2 |
| ，OP3 |
| OP1 |
| OP2 |
| OP 3 |
| 0 |
| OP1 |
| |OP2| |
| |OP3| |
| A、正三角形 |
| B、钝角三角形 |
| C、非等边的等腰三角形 |
| D、直角三角形 |
分析：由已知
+
+
=
，可得
+
=-
，两边同时平方可得
2+
2+2
•
=
2及|
|=
=
=1，结合向量的数量积，可求得∠P2OP2，同理可求∠P1OP3，∠P2OP3，从而可判断三角形的形状
| OP1 |
| OP2 |
| OP 3 |
| 0 |
| OP1 |
| OP2 |
| OP3 |
| OP1 |
| OP2 |
| OP1 |
| OP2 |
| OP3 |
| OP1 |
| |OP2| |
| |OP3| |
解答：解：
+
+
=
可得
+
=-
，
两边同时平方可得
2+
2+2
•
=
2
∵|
|=
=
=1
∴
•
=-
由向量的数量积的定义可得，∠P1OP2=120°
同理可得∠P1PP2=∠P1OP3=∠P2OP3=120°
∵|
|=
=
=1
∴可得∠P1P2P3=∠P1P3P2=∠P2P1P3=60°
则三角形为等边三角形
故选A．
| OP1 |
| OP2 |
| OP 3 |
| 0 |
| OP1 |
| OP2 |
| OP3 |
两边同时平方可得
| OP1 |
| OP2 |
| OP1 |
| OP2 |
| OP3 |
∵|
| OP1 |
| |OP2| |
| |OP3| |
∴
| OP1 |
| OP2 |
| 1 |
| 2 |
由向量的数量积的定义可得，∠P1OP2=120°
同理可得∠P1PP2=∠P1OP3=∠P2OP3=120°
∵|
| OP1 |
| |OP2| |
| |OP3| |
∴可得∠P1P2P3=∠P1P3P2=∠P2P1P3=60°
则三角形为等边三角形
故选A．
点评：本题主要考查了向量的数量积的定义在解三角形中的应用，解题的关键是要由数量积的定义求解出∠P1PP2=∠P1OP3=∠P2OP3=120°结合|
|=
=
=1进一步可得∠P1P2P3=∠P1P3P2=∠P2P1P3，综合考查了利用向量的综合知识进行转换的能力．
| OP1 |
| |OP2| |
| |OP3| |
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