Question

直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x²+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（　　）

• A．1
• B．

  2

  2

• C．

  1

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）-g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．

解答：解：设函数y=f（x）-g（x）=x²-lnx+1，求导数得
y′=2x-

1

x

=

2x2-1

x

当0＜x＜

2

2

时，y′＜0，函数在（0，

2

2

）上为单调减函数，
当x＞

2

2

时，y′＞0，函数在（

2

2

，+∞）上为单调增函数
所以当x=

2

2

时，所设函数的最小值为

3

2

+

1

2

ln2，
所求t的值为

2

2

．
故选B．

点评：可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x²＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．