Question

4．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，原点O到直线AB的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，该椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点P（0，$\frac{5}{3}$）的直线l与椭圆交于M、N两个不同的点，使$\overrightarrow{PM}$=4$\overrightarrow{PN}$成立？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得直线AB的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，即bx+ay-ab=0，利用点到直线的距离公式可得$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．及a²=b²+c²联立即可解得；
（2）当直线l的斜率不存在时，可得M（0，-1），N（0，1），直接验证即可；当直线l的斜率不在时，设y=kx+$\frac{5}{3}$，与椭圆的方程联立，可得△＞0，及其根与系数的关系．再利用$\overrightarrow{PM}$=4$\overrightarrow{PN}$，即可判断．

解答 解：（1）由题意可得直线AB的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，即bx+ay-ab=0，
∵原点O到直线AB的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．a²-b²=c²，
解得a=2，b=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）当直线l的斜率不存在时，M（0，-1），N（0，1），满足$\overrightarrow{PM}$=4$\overrightarrow{PN}$；
当直线l的斜率不在时，设y=kx+$\frac{5}{3}$，代入椭圆方程，
化为（9+36k²）x²+120kx+64=0，
∵直线l与椭圆有两个交点，∴△＞0，化为k²＞$\frac{4}{9}$．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{-40k}{3+12{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{64}{9+36{k}^{2}}$．①
若$\overrightarrow{PM}$=4$\overrightarrow{PN}$，则x₁=4x₂，②
联立①②化简得4k²=1+4k²，k不存在．
综上可得，存在过点P（0，$\frac{5}{3}$）的直线l：x=0与椭圆交于M、N两个不同的点，使$\overrightarrow{PM}$=4$\overrightarrow{PN}$成立．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、向量共线等基础知识与基本技能方法，属于中档题．